Dicas educacionais - Matemática - CEAP - Pedreira

Matemática - Conceitos -
Números Primos.
Um número primo é um número natural maior do que 1, cujos divisores são 1 e o próprio número. Caso um número seja maior do que 1 e não seja primo, ele é chamado de composto.
Os números primos são infinitos. Os vinte primeiros números primos são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67 e 71.
Acompanhe este processo para saber se o número 113 é primo: Podemos usar os critérios de divisibilidade para saber se o número 113 é divisível por 2, 3, 5:
113 não é divisível por 2, pois não é um número par.
113 não é divisível por 3, pois a soma dos seus algarismos não é divisível por 3.
113 não é divisível por 5, pois o algarismo da unidade não é 0 e nem 5.
Já que nenhum desses números primos é divisível por 113, vamos efetuar a divisão pelos outros números primos, até que encontremos uma divisão exata ou um quociente menor ou igual ao divisor.
13 : 7 = 16 resta 1
O quociente é maior que o divisor, e a divisão não é exata.
113 : 11 = 10 resta 3
O quociente é menor que o divisor.
Como a divisão de 113 por 11 resultou em um quociente menor que 11, e a divisão por 11 não é exata, podemos dizer que 113 é um número primo.

Mínimo Múltiplo Comum

MÚLTIPLO DE UM NÚMERO NATURAL

Como 24 é divisível por 3 dizemos que 24 é múltiplo de 3.
24 também é múltiplo de 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24.

Se um número é divisível por outro, diferente de zero, então
dizemos que ele é múltiplo desse outro.

        Os múltiplos de um número são calculados multiplicando-se esse número pelos números naturais.
        Exemplo: os múltiplos de 7 são:
                            7x0 , 7x1, 7x2 , 7x3 , 7x4 , ... = 0 , 7 , 14 , 21 , 28 , ...
        Observações importantes:
        1) Um número tem infinitos múltiplos
        2) Zero é múltiplo de qualquer número natural

MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (M.M.C.)

            Dois ou mais números sempre têm múltiplos comuns a eles.
            Vamos achar os múltiplos comuns de 4 e 6:
            Múltiplos de 6: 0, 6, 12, 18, 24, 30,...
            Múltiplos de 4: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24,...
            Múltiplos comuns de 4 e 6: 0, 12, 24,...
            Dentre estes múltiplos, diferentes de zero, 12 é o menor deles. Chamamos o 12 de mínimo múltiplo comum de 4 e 6.

O menor múltiplo comum de dois ou mais números, diferente de zero, é chamado de mínimo múltiplo comum desses números. Usamos a abreviação m.m.c.

CÁLCULO DO M.M.C.

            Podemos calcular o m.m.c. de dois ou mais números utilizando a fatoração. Acompanhe o cálculo do m.m.c. de 12 e 30:
    1º) decompomos os números em fatores primos
    2º) o m.m.c. é o produto dos fatores primos comuns e não-comuns:
                   12 = 2 x 2 x 3
                   30 =          2 x 3 x 5        m.m.c (12,30) = 2 x 2 x 3 x 5
        Escrevendo a fatoração dos números na forma de potência, temos:
        12 = 2² x 3
        30 = 2   x 3 x 5
        m.m.c (12,30) = 2² x 3 x 5

O m.m.c. de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores
comuns e não-comuns a eles, cada um elevado ao maior expoente.

PROCESSO DA DECOMPOSIÇÃO SIMULTÂNEA

Neste processo decompomos todos os números ao mesmo tempo, num dispositivo como mostra a figura ao lado. O produto dos fatores primos que obtemos nessa decomposição é o m.m.c. desses números. Ao lado vemos o cálculo do m.m.c.(15,24,60) Portanto, m.m.c.(15,24,60) = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 120

PROPRIEDADE DO M.M.C.

Entre os números 3, 6 e 30, o número 30 é múltiplo dos outros dois. Neste caso, 30 é o m.m.c.(3,6,30). Observe:

m.m.c.(3,6,30) = 2 x 3 x 5 = 30

Dados dois ou mais números, se um deles é múltiplo de todos os outros, então
ele é o m.m.c. dos números dados.

Considerando os números 4 e 15, ques são primos entre si. O m.m.c.(4,15) é igual a 60, que é o produto de 4 por 15. Observe:

m.m.c.(4,15) = 2 x 2 x 3 x 5 = 60

Dados dois números primos entre si, o m.m.c. deles é o produto desses números.

Máximo Divisor Comum

Dois números naturais sempre têm divisores comuns. Por exemplo: os divisores comuns de 12 e 18 são 1,2,3 e 6. Dentre eles, 6 é o maior. Então chamamos o 6 de máximo divisor comum de 12 e 18 e indicamos m.d.c.(12,18) = 6.

O maior divisor comum de dois ou mais números é chamado de máximo divisor comum desses números. Usamos a abreviação m.d.c.

        Alguns exemplos:
         mdc (6,12) = 6
         mdc (12,20) = 4
         mdc (20,24) = 4
         mdc (12,20,24) = 4
         mdc (6,12,15) = 3

CÁLCULO DO M.D.C.

Um modo de calcular o m.d.c. de dois ou mais números é utilizar a decomposição desses números em fatores primos.
1) decompomos os números em fatores primos;
2) o m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns.
Acompanhe o cálculo do m.d.c. entre 36 e 90:
36 = 2 x 2 x 3 x 3
90 = 2 x 3 x 3 x 5
O m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns => m.d.c.(36,90) = 2 x 3 x 3
Portanto m.d.c.(36,90) = 18.
Escrevendo a fatoração do número na forma de potência temos:
36 = 2² x 3²
90 = 2 x 3² x5
Portanto m.d.c.(36,90) = 2 x 3² = 18.

O m.d.c. de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores comuns a eles, cada um elevado ao menor expoente.

CÁLCULO DO M.D.C. PELO PROCESSO DAS DIVISÕES SUCESSIVAS

            Nesse processo efetuamos várias divisões até chegar a uma divisão exata. O divisor desta divisão é o m.d.c. Acompanhe o cálculo do m.d.c.(48,30).
    Regra prática:
    1º) dividimos o número maior pelo número menor;
            48 / 30 = 1 (com resto 18)
    2º) dividimos o divisor 30, que é divisor da divisão anterior, por 18, que é o resto da divisão anterior, e assim sucessivamente;
            30 / 18 = 1 (com resto 12)
            18 / 12 = 1 (com resto 6)
            12 / 6 = 2 (com resto zero - divisão exata)
    3º) O divisor da divisão exata é 6. Então m.d.c.(48,30) = 6.

NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI

Dois ou mais números são primos entre si quando o máximo
divisor comum desses números é 1.

        Exemplos:
         Os números 35 e 24 são números primos entre si, pois mdc (35,24) = 1.
         Os números 35 e 21 não são números primos entre si, pois mdc (35,21) = 7.

PROPRIEDADE DO M.D.C.

Dentre os números 6, 18 e 30, o número 6 é divisor dos outros dois. Neste caso, 6 é o m.d.c.(6,18,30). Observe:
6 = 2 x 3
18 = 2 x 3²
30 = 2 x 3 x 5
Portanto m.d.c.(6,18,30) = 6
Dados dois ou mais números, se um deles é divisor de todos os outros, então
ele é o m.d.c. dos números dados
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/fracoes/fracoes.htm

Para que servem as frações?

Os números naturais, que abordamos nos quatro módulos anteriores, são aqueles com os quais as crianças têm o primeiro contato:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,...

No entanto, esses números não conseguem resolver certos problemas que as frações resolvem. Vejamos um exemplo:

Pelo telefone, Dona Maria dá uma receita de bolo a Dona Lúcia.

-Use 2 xícaras de farinha e menos que a metade de uma xícara de requeijão... Não. É menos que a metade, mas é mais que a metade da metade.

Ficou complicado, não é mesmo? É provável que Dona Maria estivesse pensando numa quantidade equivalente à fração

(um terço):

Se tivesse dito "um terço", Dona Lúcia teria entendido melhor a receita..., se soubesse frações.

Este foi um pequeno exemplo da utilidade das frações. Veremos outros no decorrer dessa lição.

Note que, na maneira de Dona Maria dar a receita, há um outro problema: as xícaras em geral têm um formato que torna difícil saber o que é exatamente a metade. Por isso, na ilustração representamos uma caneca, na qual é fácil marcar a metade.

Adição e subtração de números fracionários

Temos que analisar dois casos:

1º) denominadores iguais

Para somar frações com denominadores iguais, basta somar os numeradores e conservar o denominador.

Para subtrair frações com denominadores iguais, basta subtrair os numeradores e conservar o denominador.

Observe os exemplos:

2º) denominadores diferentes

Para somar frações com denominadores diferentes, uma solução é obter frações equivalentes, de denominadores iguais ao mmc dos denominadores das frações. Exemplo: somar as frações

Obtendo o mmc dos denominadores temos mmc(5,2) = 10.

(10:5).4 = 8

(10:2).5 = 25

Resumindo: utilizamos o mmc para obter as frações equivalentes e depois somamos normalmente as frações, que já terão o mesmo denominador, ou seja, utilizamos o caso 1.

Dicas de sites matemáticos onde fiz esta pesquisa.

http://www.sitiodosmiudos.pt/matematica/default.asp?url_area=E

www.colegioweb.com.br/matematica/numerosprimos.html

www.somatematica.com.br/fundam/mmc.php

http://educar.sc.usp/br/matematica/m5p1t2.html

www.soportugues.com.br/secoes/jogos.php para língua portuguesa.

Bom estudo a todos.